La sucesión de Fibonacci y la Proporción áurea

La sucesión de Fibonacci y la proporción áurea

Este es un escrito matemático, en el que hablo sobre la sucesión de Fibonacci, su relación con la proporción áurea, y una serie de datos curiosos en torno a las dos.

sucesión de Fibonacci

Este artículo es una introducción para comprender mejor un próximo artículo dedicado a la presencia de la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea en algunas plantas y flores, como margaritas, girasoles, piñas (de pino y tropical), aloe y otras muchas plantas.

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es una serie de números enteros. Veamos sus primeros 10 términos:

Los términos de la sucesión cumplen una propiedad: cada uno de los términos se calcula como la suma de los dos anteriores. Por ejemplo, el séptimo término, 13, es la suma de 8 (el sexto) más 5 (el quinto). Expresándolo en forma general:

 

Sólo hay que tener en cuenta que los dos primeros términos son 0 y 1, son los únicos que no dependen de términos anteriores.

La proporción áurea 

En cuanto a la proporción áurea, se trata de una proporción, también conocida como regla de oro, sección áurea, divina proporción… que ha sido utilizada en arquitectura, pintura, escultura como medida de perfección y armonía.

Veamos una forma de definir la proporción áurea. Tenemos un segmento largo (A) y uno corto (B)

Estos dos segmentos cumplen la regla de oro si

la longitud del segmento largo dividida entre la longitud del segmento corto es igual a la longitud de ambos segmentos dividida por la longitud del segmento largo.

Para calcular (A/B), supondremos que B vale 1, por lo tanto

Operando, obtenemos la ecuación de segundo grado

Recordando la ecuación de segundo grado:

Tenemos dos soluciones:

Como habíamos supuesto que A era el segmento largo, escogemos A = 1.618033… que es mayor que B = 1.

A la proporción áurea A/B la llamaremos Φ (phi mayúscula), mientras que a su inversa B/A la llamaremos φ (phi minúscula).

Empieza a ser curioso que todos los decimales de Φ coinciden con los de φ. Y también con los de Φ elevado al cuadrado.

Relación entre la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea

En apariencia estos dos conceptos no tienen nada que ver entre sí… a no ser que relacionemos dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Tenemos la sucesión:

Y dividimos términos consecutivos dos a dos:

Cuanto mayores son los términos, más nos aproximamos a Φ

Acabamos de ver la relación numérica entre la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea, pero no es la única. Más adelante veremos más.

La secuencia áurea

Supongamos que tenemos una población de seres vivos, que se reproducen de manera asexual y además son inmortales.

– A es un Adulto
– B es un Bebé

La población va cambiando cada año, de modo que en un año,

– Cada bebé se convierte en adulto: B -> A
– Cada adulto tiene un bebé (y además sigue vivo): A -> AB

Veamos cómo evoluciona la población, suponiendo que inicialmente hay un adulto.

Año 1: A
Año 2: AB
Año 3: ABA
Año 4: ABAAB
Año 5: ABAABABA
Año 6: ABAABABAABAAB
Año 7: ABAABABAABAABABAABABA

Lo que hemos hecho en cada paso es substituir:

– Donde había una B, ponemos A.
– Donde había una A, ponemos AB.

Es curioso que entre una secuencia y la siguiente coincidan exactamente los primeros símbolos, la regla no era añadir símbolos al final, sino substituir unos por otros.

Veamos ahora la relación con la sucesión de Fibonacci. Si tomamos la secuencia del año 6 (ABAABABAABAAB) vemos que consta de 13 símbolos, de los cuales 8 son “A” y 5 son “B”. El número de “A” y el número de “B” siempre son términos de la sucesión de Fibonacci.

Podemos hacer lo mismo, tomando un segmento como el de la figura 1.

Figura 1

El segmento lo subdividimos en dos, guardando la proporción áurea. Tenemos un segmento largo (rojo) y uno corto (verde), en la figura 2.

sucesión de Fibonacci
Figura 2

El segmento largo de la figura 2, lo subdividimos en dos, largo y corto, en la figura 3. El segmento que era corto en la figura 2 está tal cual en la figura tres, sólo que ahora es largo.

sucesión de Fibonacci
Figura 3

La figura 4 muestra el procedimiento repetido unas cuantas veces más.

sucesión de Fibonacci
Figura 4

Si nos fijamos en la última línea de la figura 4, veremos que hay 13 segmentos, de los cuales 8 son largos y 5 cortos. El número de segmentos totales, cortos y largos siempre son términos consecutivos de la serie de Fibonacci.

Conclusión

Hemos visto algunas propiedades de la sucesión de Fibonacci, así como de la proporción áurea. A continuación dejo algunos enlaces para profundizar un poco más en el tema.

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