Flores de Fibonacci la proporción áurea en determinadas plantas. 

Flores de Fibonacci

Flores de Fibonacci  trata acerca de la presencia de la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea en la geometría de determinadas plantas. 

Flores de Fibonacci

Recomiendo leer el artículo introductorio anterior.

Flores de Fibonacci

Algunas flores, como los girasoles y las margaritas, son en realidad inflorescencias, formadas por muchas flores diminutas, apretadas y apiñadas. Presentan unas características geométricas interesantes, ya que a simple vista se puede observar líneas curvas que se forman debido a la disposición espacial de las flores.

Flores de Fibonacci
Flores de Fibonacci

Se puede ver que hay líneas curvas (espirales que parten del centro) tanto en un sentido como en otro. En el sentido de las agujas del reloj, tenemos 21 espirales.

Flores de Fibonacci
Flores de Fibonacci

En el sentido contrario a las agujas del reloj, tenemos 34 espirales. La línea roja es una ayuda para no perder la cuenta.

Flores de Fibonacci
Flores de Fibonacci

Ambos números, 21 y 34 son términos de la sucesión de Fibonacci. En girasoles, margaritas, piñas y otras plantas podemos contar espirales, el número de ellas es un término de la sucesión de Fibonacci.

Ahora bien, ¿cómo llega un girasol a mostrar semejante disposición geométrica? La pauta de crecimiento del girasol es sencilla: las semillas “parten” del punto central, y van siendo empujadas hacia fuera por las nuevas semillas. Así pues, a medida que va creciendo el girasol, las semillas siguen una trayectoria radial recta, que parte del centro y va hacia el exterior de la flor.

Cuando una semilla nace, “elige” una trayectoria radial con un ángulo determinado, unas hacia “arriba”, otras hacia la “izquierda”, etc. La elección de dicho ángulo es fundamental para empaquetar eficientemente las semillas sin que queden huecos. ¿Cómo se elige el ángulo?

El ángulo entre dos semillas consecutivas n y n+1 resulta ser igual al “ángulo dorado”, de modo que se dividen los 360 grados en dos ángulos que cumplen la proporción aúrea.

 

Supongamos que tenemos un girasol con 1000 semillas, que numeramos del 0 al 999, de modo que la semilla 0 es la más jóven y la 999 la más vieja. La semilla 0 estará en el centro, y la semilla 999 en el extremo. Si n es el número de semilla, podemos expresar en coordenadas polares (r, α) la posición de cada una de las semillas:

Siendo k un factor de escala que controla el tamaño global del girasol.

En coordenadas rectangulares, tendríamos:

Si por medio de un programa informático representamos esos 1000 puntos, ésto es lo que veríamos:

Puede observarse que los puntos en el centro están mucho más juntos que en el exterior. Si modificamos ligeramente la componente radial,

obtenemos una figura en la que los puntos están aproximadamente a la misma distancia unos de otros, tanto en el centro como en el exterior del girasol.

Me llama la atención cómo mediante un procedimiento tan sencillo se puede dar lugar a una geometría tan compleja como bella. Además es muy útil para la planta, ya que le permite empaquetar las semillas de manera muy eficiente, apiñando el máximo de semillas en el mínimo espacio.

 

En la siguiente imagen podemos ver un conjunto de espirales adaptativas, coloreadas para distinguirlas. Son adaptativas porque se van adaptando a su situación en el círculo, de modo que son más grandes (número mayor) cuanto más lejos del centro están.


Esta imagen  fue generada con mi programa FibFlower

Una curiosidad del programa FibFlower 1.0 es que es capaz de cubrir una esfera con cuadriláteros de un tamaño similar, y ángulos cercanos siempre a noventa grados.

La sucesión de Fibonacci y la Proporción áurea

La sucesión de Fibonacci y la proporción áurea

Este es un escrito matemático, en el que hablo sobre la sucesión de Fibonacci, su relación con la proporción áurea, y una serie de datos curiosos en torno a las dos.

sucesión de Fibonacci

Este artículo es una introducción para comprender mejor un próximo artículo dedicado a la presencia de la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea en algunas plantas y flores, como margaritas, girasoles, piñas (de pino y tropical), aloe y otras muchas plantas.

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es una serie de números enteros. Veamos sus primeros 10 términos:

Los términos de la sucesión cumplen una propiedad: cada uno de los términos se calcula como la suma de los dos anteriores. Por ejemplo, el séptimo término, 13, es la suma de 8 (el sexto) más 5 (el quinto). Expresándolo en forma general:

 

Sólo hay que tener en cuenta que los dos primeros términos son 0 y 1, son los únicos que no dependen de términos anteriores.

La proporción áurea 

En cuanto a la proporción áurea, se trata de una proporción, también conocida como regla de oro, sección áurea, divina proporción… que ha sido utilizada en arquitectura, pintura, escultura como medida de perfección y armonía.

Veamos una forma de definir la proporción áurea. Tenemos un segmento largo (A) y uno corto (B)

Estos dos segmentos cumplen la regla de oro si

la longitud del segmento largo dividida entre la longitud del segmento corto es igual a la longitud de ambos segmentos dividida por la longitud del segmento largo.

Para calcular (A/B), supondremos que B vale 1, por lo tanto

Operando, obtenemos la ecuación de segundo grado

Recordando la ecuación de segundo grado:

Tenemos dos soluciones:

Como habíamos supuesto que A era el segmento largo, escogemos A = 1.618033… que es mayor que B = 1.

A la proporción áurea A/B la llamaremos Φ (phi mayúscula), mientras que a su inversa B/A la llamaremos φ (phi minúscula).

Empieza a ser curioso que todos los decimales de Φ coinciden con los de φ. Y también con los de Φ elevado al cuadrado.

Relación entre la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea

En apariencia estos dos conceptos no tienen nada que ver entre sí… a no ser que relacionemos dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Tenemos la sucesión:

Y dividimos términos consecutivos dos a dos:

Cuanto mayores son los términos, más nos aproximamos a Φ

Acabamos de ver la relación numérica entre la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea, pero no es la única. Más adelante veremos más.

La secuencia áurea

Supongamos que tenemos una población de seres vivos, que se reproducen de manera asexual y además son inmortales.

– A es un Adulto
– B es un Bebé

La población va cambiando cada año, de modo que en un año,

– Cada bebé se convierte en adulto: B -> A
– Cada adulto tiene un bebé (y además sigue vivo): A -> AB

Veamos cómo evoluciona la población, suponiendo que inicialmente hay un adulto.

Año 1: A
Año 2: AB
Año 3: ABA
Año 4: ABAAB
Año 5: ABAABABA
Año 6: ABAABABAABAAB
Año 7: ABAABABAABAABABAABABA

Lo que hemos hecho en cada paso es substituir:

– Donde había una B, ponemos A.
– Donde había una A, ponemos AB.

Es curioso que entre una secuencia y la siguiente coincidan exactamente los primeros símbolos, la regla no era añadir símbolos al final, sino substituir unos por otros.

Veamos ahora la relación con la sucesión de Fibonacci. Si tomamos la secuencia del año 6 (ABAABABAABAAB) vemos que consta de 13 símbolos, de los cuales 8 son “A” y 5 son “B”. El número de “A” y el número de “B” siempre son términos de la sucesión de Fibonacci.

Podemos hacer lo mismo, tomando un segmento como el de la figura 1.

Figura 1

El segmento lo subdividimos en dos, guardando la proporción áurea. Tenemos un segmento largo (rojo) y uno corto (verde), en la figura 2.

sucesión de Fibonacci
Figura 2

El segmento largo de la figura 2, lo subdividimos en dos, largo y corto, en la figura 3. El segmento que era corto en la figura 2 está tal cual en la figura tres, sólo que ahora es largo.

sucesión de Fibonacci
Figura 3

La figura 4 muestra el procedimiento repetido unas cuantas veces más.

sucesión de Fibonacci
Figura 4

Si nos fijamos en la última línea de la figura 4, veremos que hay 13 segmentos, de los cuales 8 son largos y 5 cortos. El número de segmentos totales, cortos y largos siempre son términos consecutivos de la serie de Fibonacci.

Conclusión

Hemos visto algunas propiedades de la sucesión de Fibonacci, así como de la proporción áurea. A continuación dejo algunos enlaces para profundizar un poco más en el tema.

somos zyberpunks

The seed

 Somos zyberpunks
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Estaban todos esos tipos monopolizando las redes, llenándolas
de hielo negro y datos aburridos. Un entorno sin volúmenes en el que
reinaba el Silencio.
La Nada

Y luego empezamos nosotros.
Fuimos en un principio leves como un ligero zumbido de estática,
un discreto embrión revolucionario. Pero crecimos progresivamente,
llenando de ruido blanco un mundo reservado, un entorno apenas accesible.

– somos zyberpunks –

Somos la última generación de software interpersonal, virus humanos,
conjuntos de datos drifteando en el ciberespacio.
Nadie nos ha presentado, no nos conocimos en una fiesta, nunca
hemos ido juntos a un concierto de rock. Somos hijos de las redes.
No somos nada en concreto, no tenemos forma ni etiquetas. Apenas
flashes entre nebulosas de información. Abiertos a todo. Heterogeneos y
eclécticos hasta la absurdidad. No somos nada. No queremos ser nada.

– somos zyberpunks –

Somos contradictorios.

– somos zyberpunks –

Tú andas por la kalle y no te das cuenta. Tú andas por la kalle y
no sabes que flujos de info viajan en todas direcciones por las redes de
datos, por las lineas telefónicas, junto a tu kurro, bajo tu bareto preferido.
Estan ahí.
Entornos virtuales. No tangibles. No physicos.
Pero existentes.
Tal vez quieras probar. Necesitas una konsola, un modem, una linea.
El resto es problema tuyo.
Puedes encontrar bisnes y diversion y problemas y wilsons.
Información. Sabiduría. Tipos duros y shermans. Violencia. Arte. Deseo.
Placer. Aburrimiento. Interferencias.
No sé si te atreves. No sé si serías capaz.
Necesitas una konsola. Y un modem. Y una linea.
Necesitas un codename que te haga único.
Debes ser lo suficientemente creativo para huir de convencionalismos,
ser capaz de intercambiar info y puntos de vista, poder utilizar una fría
máquina para hacer arder el aire con tus datos. Necesitas provocar
igniciones constantes entre los bits.
No, no somos unos tipos aburridos que utilizan aburridas máquinas.

– somos zyberpunks –

Pero eso no es todo. Hay tendencias. Individualidades y agrupaciones.
Sectores duros. Y románticos de mierda. Acciones directas y desfases mentales.
No se a que estás esperando. No sé por qué estás todavía aprisionado
en el asfalto. No sé por qué no te interfaseas con nosotros. Es fácil. Ya
sabes, konsola, modem, línea. Un par de dias de entreno y el ciberespacio
será tu segundo hogar. Si estás a la altura todo irá bien.
Relájate. Pero muévete rápido.
O quedarás atrás.

– Zyberpunks de BarnaNit –

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still alive!
kamita never dies
we'll be back s00n

Texto extraído de Kamita.com muy inspirador en pleno apogeo de la Cybercultuta

Kamita no Reikon 2001
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