La Proporción Áurea de Fibonacci en tus fotografías

La Proporción Áurea de Fibonacci en tus fotografías

Nautilus by Rafael Araujo

Hacía mucho tiempo que no hablaba de Fibonacci  pero es el artífice de la regla de composición fotográfica perfecta, me refiero a la Proporción Áurea (Golden Ratio en inglés) que explicare a continuación con una serie de imágenes, de entre ellas alguna de mi fotografo favorito (Helmut Newton) que igual que Miguel Ángel, Botticelli, Rubens y Rafael antes que él, este legendario fotógrafo la usó en las composiciones de sus retratos magistrales.

Siempre se habla  de la regla de los tercios  como el santo grial de la composición y de cómo ésta puede ayudarte a realizar tus fotografías con un resultado final mucho más atractivo a la vista,  pero ¿de dónde sale la regla de los tercios? ¿Es realmente una regla o más bien una orientación? ¿Qué diferencias se generan en una fotografía dependiendo de dónde se coloquen los sujetos? En este post te explicaré en qué consiste todo esto y asi mejorar la composición de tus instantáneas.

 Todo Empezó con Leonardo Pisano y el Número Áureo 

Leonardo de Pisa, Fibonacci Grabado del siglo XIX

Leonardo Pisano, también llamado Leonardo PisanoLeonardo Bigollo y conocido como Fibonacci, fue un famoso matemático italiano que difundió por Europa el sistema de numeración árabe (1, 2, 3…) con base decimal y con un valor nulo (el cero).

Pero el gran descubrimiento de este importante matemático  fue la Sucesión de Fibonacci que, posteriormente, dió lugar a la proporción áurea y es de lo que estamos hablando en este articulo.

¿Qué es la Sucesión de Fibonacci?

Se trata de una serie numérica: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. Es una serie infinita en la que la suma de dos números consecutivos siempre da como resultado el siguiente número (1+1=2; 13+21=34). La relación que existe entre cada pareja de números consecutivos (es decir, si dividimos cada número entre su anterior) se aproxima al número áureo (1,618034) que se identifica con la letra Phi Φ del abecedario griego.

La Proporción Áurea de Fibonacci

La Proporción Áurea Explicada con Imágenes

En primer lugar creamos un rectángulo cuyos lados midan dos de los números de la serie de Fibonacci como por ejemplo:

Despues vamos a dividirlo siguiendo la serie numérica:

Si dibujamos una línea que una todos estos pequeños recuadros, quedaría de la siguiente manera:

La espiral resultante es la conocida como Espiral de Oro o Espiral Áurea y está permanentemente presente en la naturaleza, como por ejemplo en las semillas de un girasol  hace años escribí cal respecto, tambien en las conchas marinas, en verduras etc. Componer una imagen siguiendo esta espiral nos resulta agradable visualmente porque las proporciones que se obtienen nos parecen armoniosas y naturales.

The Golden Ratio Helmut Newton
Image By Hemut Newton
La Relación entre la Regla de los Tercios y la Proporción Áurea

Todo esto que estoy explicando es con un fin que seguramente te habrás imaginado, que es ni mas ni menos que  llegar al origen de la Regla de los Tercios. 

Seguimos con el cuadro que hemos utilizado anteriormente y ahora efectuaremos la colocación de cuatro espirales en el mismo rectángulo, de esta forma, para que se inicie una espiral en cada una de las cuatro esquinas del recuadro con el siguiente resultado:

 ¿te suena verdad? si marcamos en rojo el centro de las espirales:

Et voilà ¡ tenemos nuestra querida Regla de los Tercios! quedando de sobras demostrada que las matemáticas nos ayudan a componer fotográficamente.

Con este diagrama, se ven de manera evidente y muy gráfica, las zonas con más interés visual que son las esquinas, como se puede apreciar en el esquema, el centro de la imagen es la zona “menos interesante” del  encuadre.

Por supuesto esto es discutible y ya sabéis que las normas están para romperlas existen fotografías que rompen por completo esta concepción y, aún así, son muy atractivas visualmente.

Como has visto, la regla de los tercios es una versión de la proporción áurea; normalmente, resulta más sencillo componer una fotografía con la regla de los tercios en mente, que con la “Espiral de Oro“, pero con practica se consigue.

Tambien cabe citar que en la pantalla puedes usar la plantilla de los tercios en todas las cámaras, o con hacks como Magic Lanten (Solo Canon) puedes poner la proporción áurea o incluso Cropmarsk diferentes como la de Stanley kubrick que yo desarrolle en su dia y puedes ver y bajar aquí:

Cropmarks basadas en One Point Perspective Stanley Kubrick

¿Dónde Ubico mis Sujetos?

Si te decantas por utilizar la Regla de los Tercios, sabrás que debes colocarlos en uno de los puntos fuertes. Pero ¿en cuál de ellos? ¿Y si no quieres utilizar los Tercios? Depende de lo que quieras transmitir, unos puntos te ayudarán más que otros.

Lo importante es que en la composición de tus fotografías dejes el aire que el sujeto necesite para realizar su movimiento. Si debe moverse, déjale espacio por delante. Si ya se ha movido, el espacio debe estar detrás. Si debe caer, por debajo.

Si quieres transmitir que el sujeto se encuentra atrapado por algo, cierra el plano para que “se ahogue” y si quieres mostrarlo libre, sitúalo en una composición muy abierta, en la que el aire lo rodee.

Image By Hemut Newton

Si, además de todo esto, añades en la composición líneas que acompañen todo lo que intentas transmitir con la composición, tu fotografía será, probablemente, un éxito: hasta la infinidad se ha comentado la importancia de las líneas dentro de una composición fotográfica pero es especialmente importante en el caso de las líneas diagonales que aportan a la fotografía un alto grado de dinamismo y, además, ayudan al espectador a leer la imagen.

Ten en cuenta que, en el mundo occidental, el ojo está acostumbrado a leer empezando por la esquina superior izquierda y terminar por la inferior derecha, así que si una imagen tiene en su composición líneas que sigan esta dirección, la lectura de la imagen será muy rápida (como si fuera cuesta abajo).

En cambio, si utilizamos líneas diagonales ascendentes, de la esquina inferior izquierda a la superior derecha, la lectura será más pesada (como si fuera cuesta arriba).

Por supuesto, todo esto es sólo una guía orientativa y todo lo antes descrito es completamente subjetivo. Dependiendo del sujeto, del lugar, de la luz que utilices, del ángulo de visión, etc. puedes conseguir el mismo efecto con una composición distinta. Es cuestión de saber mirar y de tener reflejos a la hora de componer las imágenes para que nuestras fotografías mejoren sustancialmente. 

Las reglas de composición no son leyes inmutables, cada imagen y cada situación son únicas e, incluso, cada fotógrafo puede utilizarlas de una manera distinta y con resultados muy dispares.

Image By Hemut Newton
Image By Hemut Newton
Preguntas Frecuentes sobre la Proporción Áurea
¿Qué es el punto áureo?

El punto áureo es el punto origen de una proporción áurea. Expresado de una manera sencilla de entender, es cada uno de los puntos fuertes de los que parten las espirales áureas, y suelen marcar zonas en las que se centra la atención en fotografías e imágenes.

¿Qué es el número de oro?

También llamado número áureo, el número de oro es el número que expresa la relación que guardan los números en la secuencia de números que expresa la proporción áurea. De una manera más sencilla, el número áureo es el pilar matemático sobre el que se construye la espiral que identificamos visualmente como asociada a la proporción áurea.

¿Qué es el rectángulo áureo?

El rectángulo áureo es un rectángulo en el que sus lados guardan la proporción áurea, muy presente en la naturaleza y que tiene un gran atractivo visual, lo que suele ser utilizado en composición visual para crear imágenes armoniosas.

Encontrar la divina proporción con Golden Section Finder

Con el GSF o Golden Section Finder, lograrás que tu ojo fotográfico se desarrolle más rápido. y mejorar considerablemente tus instantáneas.

Si como yos os obsesiona componer con esta proporción, no teneis en vuestra camara softwares alternativos como el (Magic Lantern) que describí mas arriba y quereis tener de una manera visual una plantilla para encontrarla, teneis este curioso gadget que recomiendo usar en cualquier momento.

Otra ventaja de practicar la proporción áurea es ayudar a tu ojo a tener en cuenta el encuadre correcto de la naturaleza, haciendo más fácil hacer buenas fotografías, ya que tu ojo logrará percibir de forma inmediata cual es el objeto principal y partir de ahí mejoras como ya dije anteriormente tus fotografías.

Podéis adquirir este gadget en Amazon por menos de 20 Euros + gastos de envio.

O tambien adquirirlo en su la página oficial AREA WARE pero os tardara en llegar uno poco mas ya que viene desde Estados Unidos.

Links de interés:

Vía algunos fracmentos de este articulo estan extraídos de  un articulo de 


Flores de Fibonacci la proporción áurea en determinadas plantas. 

La sucesión de Fibonacci y la Proporción áurea

Fibonacci en Margaritas y Girasoles

Fibonacci en Margaritas y Girasoles

Una de esas maravillas que interrelaciona el mundo de la naturaleza con el mundo de las matemáticas es como por ejemplo encontrar la sucesión de Fibonacci en los girasoles y las margaritas

 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… y ya es primavera. Cada número es la suma de los dos anteriores.

FibonacciAlgunas flores, como los girasoles y las margaritas, son en realidad inflorescencias, formadas por muchas flores diminutas, apretadas y apiñadas. Presentan unas características geométricas interesantes, ya que a simple vista se puede observar líneas curvas que se forman debido a la disposición espacial de las flores (…)

Llama la atención cómo mediante un procedimiento tan sencillo se puede dar lugar a una geometría tan compleja como bella. Además es muy útil para la planta, ya que le permite empaquetar las semillas de manera muy eficiente, apiñando el máximo de semillas en el mínimo espacio.

Vía Juegos de Ingenio.

Algo más sobre la Sucesión de Fibonacci en la Wikipedia.

Fibonacci

Flores de Fibonacci la proporción áurea en determinadas plantas. 

Flores de Fibonacci

Flores de Fibonacci  trata acerca de la presencia de la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea en la geometría de determinadas plantas. 

Flores de Fibonacci

Recomiendo leer el artículo introductorio anterior.

Flores de Fibonacci

Algunas flores, como los girasoles y las margaritas, son en realidad inflorescencias, formadas por muchas flores diminutas, apretadas y apiñadas. Presentan unas características geométricas interesantes, ya que a simple vista se puede observar líneas curvas que se forman debido a la disposición espacial de las flores.

Flores de Fibonacci
Flores de Fibonacci

Se puede ver que hay líneas curvas (espirales que parten del centro) tanto en un sentido como en otro. En el sentido de las agujas del reloj, tenemos 21 espirales.

Flores de Fibonacci
Flores de Fibonacci

En el sentido contrario a las agujas del reloj, tenemos 34 espirales. La línea roja es una ayuda para no perder la cuenta.

Flores de Fibonacci
Flores de Fibonacci

Ambos números, 21 y 34 son términos de la sucesión de Fibonacci. En girasoles, margaritas, piñas y otras plantas podemos contar espirales, el número de ellas es un término de la sucesión de Fibonacci.

Ahora bien, ¿cómo llega un girasol a mostrar semejante disposición geométrica? La pauta de crecimiento del girasol es sencilla: las semillas “parten” del punto central, y van siendo empujadas hacia fuera por las nuevas semillas. Así pues, a medida que va creciendo el girasol, las semillas siguen una trayectoria radial recta, que parte del centro y va hacia el exterior de la flor.

Cuando una semilla nace, “elige” una trayectoria radial con un ángulo determinado, unas hacia “arriba”, otras hacia la “izquierda”, etc. La elección de dicho ángulo es fundamental para empaquetar eficientemente las semillas sin que queden huecos. ¿Cómo se elige el ángulo?

El ángulo entre dos semillas consecutivas n y n+1 resulta ser igual al “ángulo dorado”, de modo que se dividen los 360 grados en dos ángulos que cumplen la proporción aúrea.

 

Supongamos que tenemos un girasol con 1000 semillas, que numeramos del 0 al 999, de modo que la semilla 0 es la más jóven y la 999 la más vieja. La semilla 0 estará en el centro, y la semilla 999 en el extremo. Si n es el número de semilla, podemos expresar en coordenadas polares (r, α) la posición de cada una de las semillas:

Siendo k un factor de escala que controla el tamaño global del girasol.

En coordenadas rectangulares, tendríamos:

Si por medio de un programa informático representamos esos 1000 puntos, ésto es lo que veríamos:

Puede observarse que los puntos en el centro están mucho más juntos que en el exterior. Si modificamos ligeramente la componente radial,

obtenemos una figura en la que los puntos están aproximadamente a la misma distancia unos de otros, tanto en el centro como en el exterior del girasol.

Me llama la atención cómo mediante un procedimiento tan sencillo se puede dar lugar a una geometría tan compleja como bella. Además es muy útil para la planta, ya que le permite empaquetar las semillas de manera muy eficiente, apiñando el máximo de semillas en el mínimo espacio.

 

En la siguiente imagen podemos ver un conjunto de espirales adaptativas, coloreadas para distinguirlas. Son adaptativas porque se van adaptando a su situación en el círculo, de modo que son más grandes (número mayor) cuanto más lejos del centro están.


Esta imagen  fue generada con mi programa FibFlower

Una curiosidad del programa FibFlower 1.0 es que es capaz de cubrir una esfera con cuadriláteros de un tamaño similar, y ángulos cercanos siempre a noventa grados.

La sucesión de Fibonacci y la Proporción áurea

La sucesión de Fibonacci y la proporción áurea

Este es un escrito matemático, en el que hablo sobre la sucesión de Fibonacci, su relación con la proporción áurea, y una serie de datos curiosos en torno a las dos.

sucesión de Fibonacci

Este artículo es una introducción para comprender mejor un próximo artículo dedicado a la presencia de la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea en algunas plantas y flores, como margaritas, girasoles, piñas (de pino y tropical), aloe y otras muchas plantas.

La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es una serie de números enteros. Veamos sus primeros 10 términos:

Los términos de la sucesión cumplen una propiedad: cada uno de los términos se calcula como la suma de los dos anteriores. Por ejemplo, el séptimo término, 13, es la suma de 8 (el sexto) más 5 (el quinto). Expresándolo en forma general:

 

Sólo hay que tener en cuenta que los dos primeros términos son 0 y 1, son los únicos que no dependen de términos anteriores.

La proporción áurea 

En cuanto a la proporción áurea, se trata de una proporción, también conocida como regla de oro, sección áurea, divina proporción… que ha sido utilizada en arquitectura, pintura, escultura como medida de perfección y armonía.

Veamos una forma de definir la proporción áurea. Tenemos un segmento largo (A) y uno corto (B)

Estos dos segmentos cumplen la regla de oro si

la longitud del segmento largo dividida entre la longitud del segmento corto es igual a la longitud de ambos segmentos dividida por la longitud del segmento largo.

Para calcular (A/B), supondremos que B vale 1, por lo tanto

Operando, obtenemos la ecuación de segundo grado

Recordando la ecuación de segundo grado:

Tenemos dos soluciones:

Como habíamos supuesto que A era el segmento largo, escogemos A = 1.618033… que es mayor que B = 1.

A la proporción áurea A/B la llamaremos Φ (phi mayúscula), mientras que a su inversa B/A la llamaremos φ (phi minúscula).

Empieza a ser curioso que todos los decimales de Φ coinciden con los de φ. Y también con los de Φ elevado al cuadrado.

Relación entre la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea

En apariencia estos dos conceptos no tienen nada que ver entre sí… a no ser que relacionemos dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Tenemos la sucesión:

Y dividimos términos consecutivos dos a dos:

Cuanto mayores son los términos, más nos aproximamos a Φ

Acabamos de ver la relación numérica entre la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea, pero no es la única. Más adelante veremos más.

La secuencia áurea

Supongamos que tenemos una población de seres vivos, que se reproducen de manera asexual y además son inmortales.

– A es un Adulto
– B es un Bebé

La población va cambiando cada año, de modo que en un año,

– Cada bebé se convierte en adulto: B -> A
– Cada adulto tiene un bebé (y además sigue vivo): A -> AB

Veamos cómo evoluciona la población, suponiendo que inicialmente hay un adulto.

Año 1: A
Año 2: AB
Año 3: ABA
Año 4: ABAAB
Año 5: ABAABABA
Año 6: ABAABABAABAAB
Año 7: ABAABABAABAABABAABABA

Lo que hemos hecho en cada paso es substituir:

– Donde había una B, ponemos A.
– Donde había una A, ponemos AB.

Es curioso que entre una secuencia y la siguiente coincidan exactamente los primeros símbolos, la regla no era añadir símbolos al final, sino substituir unos por otros.

Veamos ahora la relación con la sucesión de Fibonacci. Si tomamos la secuencia del año 6 (ABAABABAABAAB) vemos que consta de 13 símbolos, de los cuales 8 son “A” y 5 son “B”. El número de “A” y el número de “B” siempre son términos de la sucesión de Fibonacci.

Podemos hacer lo mismo, tomando un segmento como el de la figura 1.

Figura 1

El segmento lo subdividimos en dos, guardando la proporción áurea. Tenemos un segmento largo (rojo) y uno corto (verde), en la figura 2.

sucesión de Fibonacci
Figura 2

El segmento largo de la figura 2, lo subdividimos en dos, largo y corto, en la figura 3. El segmento que era corto en la figura 2 está tal cual en la figura tres, sólo que ahora es largo.

sucesión de Fibonacci
Figura 3

La figura 4 muestra el procedimiento repetido unas cuantas veces más.

sucesión de Fibonacci
Figura 4

Si nos fijamos en la última línea de la figura 4, veremos que hay 13 segmentos, de los cuales 8 son largos y 5 cortos. El número de segmentos totales, cortos y largos siempre son términos consecutivos de la serie de Fibonacci.

Conclusión

Hemos visto algunas propiedades de la sucesión de Fibonacci, así como de la proporción áurea. A continuación dejo algunos enlaces para profundizar un poco más en el tema.