Flores de Fibonacci
Flores de Fibonacci trata acerca de la presencia de la sucesión de Fibonacci y la proporción áurea en la geometría de determinadas plantas.
Recomiendo leer el artículo introductorio anterior.
Algunas flores, como los girasoles y las margaritas, son en realidad inflorescencias, formadas por muchas flores diminutas, apretadas y apiñadas. Presentan unas características geométricas interesantes, ya que a simple vista se puede observar líneas curvas que se forman debido a la disposición espacial de las flores.
Se puede ver que hay líneas curvas (espirales que parten del centro) tanto en un sentido como en otro. En el sentido de las agujas del reloj, tenemos 21 espirales.
En el sentido contrario a las agujas del reloj, tenemos 34 espirales. La línea roja es una ayuda para no perder la cuenta.
Ambos números, 21 y 34 son términos de la sucesión de Fibonacci. En girasoles, margaritas, piñas y otras plantas podemos contar espirales, el número de ellas es un término de la sucesión de Fibonacci.
Ahora bien, ¿cómo llega un girasol a mostrar semejante disposición geométrica? La pauta de crecimiento del girasol es sencilla: las semillas «parten» del punto central, y van siendo empujadas hacia fuera por las nuevas semillas. Así pues, a medida que va creciendo el girasol, las semillas siguen una trayectoria radial recta, que parte del centro y va hacia el exterior de la flor.
Cuando una semilla nace, «elige» una trayectoria radial con un ángulo determinado, unas hacia «arriba», otras hacia la «izquierda», etc. La elección de dicho ángulo es fundamental para empaquetar eficientemente las semillas sin que queden huecos. ¿Cómo se elige el ángulo?
El ángulo entre dos semillas consecutivas n y n+1 resulta ser igual al «ángulo dorado», de modo que se dividen los 360 grados en dos ángulos que cumplen la proporción aúrea.
Supongamos que tenemos un girasol con 1000 semillas, que numeramos del 0 al 999, de modo que la semilla 0 es la más jóven y la 999 la más vieja. La semilla 0 estará en el centro, y la semilla 999 en el extremo. Si n es el número de semilla, podemos expresar en coordenadas polares (r, α) la posición de cada una de las semillas:
Siendo k un factor de escala que controla el tamaño global del girasol.
En coordenadas rectangulares, tendríamos:
Si por medio de un programa informático representamos esos 1000 puntos, ésto es lo que veríamos:
Puede observarse que los puntos en el centro están mucho más juntos que en el exterior. Si modificamos ligeramente la componente radial,
obtenemos una figura en la que los puntos están aproximadamente a la misma distancia unos de otros, tanto en el centro como en el exterior del girasol.
Me llama la atención cómo mediante un procedimiento tan sencillo se puede dar lugar a una geometría tan compleja como bella. Además es muy útil para la planta, ya que le permite empaquetar las semillas de manera muy eficiente, apiñando el máximo de semillas en el mínimo espacio.
En la siguiente imagen podemos ver un conjunto de espirales adaptativas, coloreadas para distinguirlas. Son adaptativas porque se van adaptando a su situación en el círculo, de modo que son más grandes (número mayor) cuanto más lejos del centro están.
Esta imagen fue generada con mi programa FibFlower
Una curiosidad del programa FibFlower 1.0 es que es capaz de cubrir una esfera con cuadriláteros de un tamaño similar, y ángulos cercanos siempre a noventa grados.